Двухмерная теория подъемной силы отдельного крыла в несжимаемом потоке
При полетных скоростях вплоть до 0,2 - кратной скорости звука разница в давлении при обтекании тела по сравнению с атмосферным давлением воздуха, находящегося в состоянии покоя, настолько мала, что мы можем рассматривать воздух как несжимаемую жидкость, такую, например, как вода, так что законы гидродинамики должны быть в этом случае справедливыми и для воздуха. У тела, на которое действует подъемная сила, давление воздуха сверху в среднем будет меньше, нежели снизу. Предположим, что тело обтекается установившимся потоком; тогда между давлением, и местной скоростью имеется следующая зависимость, т. е. там, где давление меньше, скорость будет больше и наоборот. Если мы возьмем линейный интеграл скоростей вдоль любой окружающей крыло линии, то получим конечную циркуляцию, так как скорости на верхней стороне крыла превышают скорости нижней его стороны. Эта циркуляция Г вокруг отрезка крыла шириной b (причем само крыло мы воображаем бесконечно широким) находится согласно теореме Жуковского в следующей зависимости от подъемной силы, откуда получается коэффициент подъемной силы. Поток вокруг самой дужки состоит из поступательного потока без циркуляции при данной скорости поступательного движения и из циркуляции вокруг крыла без поступательного движения. Величина этого, имеющего очень важное значение для подъемной силы, циркуляционного потока определяется тем обстоятельством, что при истинном обтекании профиля, получающемся в результате наложения одного на другой обоих схематически изображенных потенциальных потоков, не происходит обтекания острой задней кромки дужки ни по направлению сверху вниз (преобладание циркуляции), ни снизу вверх (преобладание поступательного движения). В действительности циркуляция будет еще меньше, так как сильное падение давления на верхней стороне дужки влечет за собой отрыв пограничных слоев, вследствие чего со стороны засасывания возникает мертвое пространство. Благодаря этому линии тока отклоняются кверху, и это создает меньшую циркуляцию. Мертвое пространств, следовательно, уменьшает подъемную силу и увеличивает лобовое сопротивление, т.е. ухудшает качество крыла. В свободном от трения потоке воздуха циркуляция возникнуть не может; для объяснения ее возникновения предполагается существование пограничного слоя, обладающего вязкостью. Из этого уже вытекает, что при всяком ускорении крыла по всей длине задней кромки крыла отрывается так называемый сбегающий вихрь, обладающий такой циркуляцией, которая равна и противоположна изменению циркуляции у крыла, вызываемой изменением подъемной силы. При увеличении угла атаки крыла прежде всего возрастает циркуляция, а вместе с ней и подъемная сила. Это увеличивает разрежение на верхней стороне, что в свою очередь усиливает отрыв пограничного слоя, так что завихренная область и лобовое сопротивление увеличиваются вместе с увеличением угла атаки. В конце концов, пограничный слой уже не может следовать за контуром тела, и поток полностью отрывается от верхней стороны. При этом наблюдается скачкообразное уменьшение коэффициента подъемной силы нормальных профилей. Максимальное значение коэффициента подъемной силы достигает 1,2—1,4. Путем специального воздействия на пограничный слой, как в разрезных крыльях (ускорение пограничного слоя путем примешивания более богатого энергией потока с нижней стороны крыла), в отсасывающих крыльях (частичное отсасывание заторможенного пограничного слоя внутрь крыла) и во вращающихся крыльях (искусственное перемещение). Скорость пограничного слоя в сторону повышенного давления верхней стороны крыла при помощи движущегося крыла, эффект Магнуса можно получить еще более высокие коэффициенты подъемной силы за счет, впрочем, качества крыла. Для расчета возмущения, возникающего на некотором расстоянии от крыла, лучше всего разделить поток, как мы это делали выше, на циркуляционный поток и поступательный. Если мы учтем, что возмущение, получающееся вследствие поступательного движения, уменьшается пропорционально квадрату расстояния от крыла, а возмущение вследствие циркуляции уменьшается в линейном отношении, то легко вывести, что на расстоянии от крыла большем, чем полухорда крыла, будет преобладать циркуляционный поток и скорость возмущенного потока w на расстоянии т от точки приложения силы имеет величину и направлено перпендикулярно к вектору. При исследовании потенциального потока поблизости крыла следует принимать во внимание и форму крыла. При этом пользуются методом конформных преобразований Жуковского или заменой крыла вихрем, источниками или токами по Прандтлю-Бирнбауму. При помощи этих методов можно теоретически определить величину, направленно и точку приложения подъемной силы для любых дужек. Для некоторых простых, аналитически определимых тонких профилей найдены формулы для коэффициентов подъемной силы и моментов, которые могут с успехом применяться и для дужек средней толщины, ось симметрии которых совпадает с осью симметрии тонких дужек. Для дужек общего типа такими же формулами являются формулы, предложенные Мунком. Если мы проведем абсциссу в направлении воздушного потока через ребро схода крыла и выберем координаты этого ребра схода равными x=2 и у=0.
Трехмерная теория подъемной силы отдельного крыла в несжимаемом потоке
Рассмотренная нами только что двухмерная теория предполагает, что крыло имеет бесконечный размах. В действительности же разрежение на верхней или избыточное давление на нижней стороне крыла могут выравниваться у боковой кромки крыла благодаря обтеканию, так что образуется падение давления: на нижней стороне по направлению к этой боковой кромке, а на верхней стороне в направлении от нее. Такое падение давления в поперечном направлении к направлению движения влечет за собой, по сравнению с двухмерной проблемой: 1) понижение подъемной силы при сохранении одного и того же угла атаки, которое возможно устранить увеличением угла атаки; 2) отклонение линий потока, в особенности вблизи крыла, от направления главного потока: на нижней стороне к концу крыла, а на верхней стороне от крыла к середине. Вследствие обтекания конца крыла в этом месте возникает так называемое индуктивное сопротивление; кроме того, подъемная сила уже не будет распределяться равномерно по всей длине крыла, а будет уменьшаться по направлению к концам крыльев, доходя на концах до нуля. У эллиптических крыльев, наиболее благоприятных в отношении индуктивного сопротивления (с некоторым приближением также и у прямоугольных крыльев) распределение подъемной силы по длине крыла происходит по эллипсу, большая ось коего совпадает с продольной осью крыла. Если мы предположим, что у тонких крыльев подъемная сила на середине крыла приблизительно совпадает с подъемной силой крыла бесконечной длины, тогда потеря подъемной силы вследствие уменьшения ее на концах крыльев получается для крыла прямоугольной формы из разницы между равномерным и эллиптическим распределением подъемной силы; потеря ее равняется примерно 20% обшей подъемной силы. Вследствие этих потерь подъемной силы и значительного индуктивного сопротивления у обычных крыльев возникает весьма неблагоприятная, но неизбежная продольная составляющая линий тока, направленная в нижней стороне к концам крыла. У птиц, имеющих крылья с вогнутым профилем на стороне давления, это продольное течение увеличивается еще больше; при направлении вдоль крыла этого воздушного потока, скорость которого может значительно превышать собственную скорость полета, и отклонение его вниз изогнутым концом крыла создается значительная дополнительная подъемная сила; увеличение подъемной силы не создает нового сопротивления, так как получающаяся при этом составляющая сопротивления направлена по длине крыла, а следовательно, перпендикулярно к направлению движения, и уравновешивается такой же силой на другом конце крыла.
Двухмерная теория подъемной силы отдельного крыла в сжимаемом потоке
При скоростях полета, больших 0,2-кратной скорости звука в воздухе, избыточное давление при обтекании тела по сравнению с абсолютным атмосферным давлением оказывается уже настолько значительным, что сжимаемостью воздуха нельзя уже пренебрегать. Так как давление и скорость находятся между собой в определенной зависимости, установленной Бернулли, то вместо давления в качестве критерия можно пользоваться и скоростью. Глауэрт на основе строго теоретических рассуждений приходит к заключению, что до тех пор, пока скорость потока ни в одной точке профиля не превышает скорости звука, подъемная сила в сжимаемом потоке будет кратной подъемной силы несжимаемой среды. Максимальные местные скорости на поверхности наблюдаются у входной кромки профиля, однако, по Глауэрту, эта скорость для профилей средней толщины едва ли будет превышать величину, так что для таких профилей теоретическая формула будет вполне применима вплоть до скоростей 0.5—0,6. При толстых профилях предел применения указанной формулы будет соответствен но ниже, а при очень тонких профилях — выше, достигая почти v=a в предельных случаях. Вплоть до скоростей, равных v—0,8, подъемная сила в сжимаемой среде возрастает на 25% но сравнению с подъемной силой и несжимаемой среде. Как только местная скорость на поверхности профиля у входа превысит скорость звука, тотчас же там возникают упругие волны, которые ведут к быстрому падению подъемной силы и к возрастанию сопротивления профиля. Пределы применимости вышеуказанной теоретической формулы, а вместе с тем и благоприятное поведение дужки зависит, однако, не только от формы самой дужки; следует отметить также, что вышеуказанный предел достигается скорее при больших коэффициентах подъемной силы, нежели при низких. В общем Глауэрт приходит к следующим выводам: 1. Когда скорость возрастает от нуля до 0,6, тогда и коэффициент подъемной силы возрастает в 2 раза, а угол атаки, при котором подъемная сила равна нулю, не изменяется. 2. При скоростях подъемная сила падает, но критическая скорость, при которой подъемная сила начинает быстро уменьшаться, зависит от формы дужки. Быстрое уменьшение подъемной силы, по всей вероятности, наступает ранее при более высоких коэффициентах подъемной силы. К подобным же результатам приходит и Буземан при помощи так называемой «аналогии линий тока» (Strom linienana-logie). Хорошее представление об имеющихся в данном случае явлениях можно, по его мнению, получить, вообразив себе линии несжимаемого потока определяемыми пластинами, между которыми течет сжимаемый поток; давление в нем определяется вышеуказанными пластинами, представляющими линии тока. Разреженно и давление сверх атмосферного, отнесенные к скоростному напору, будут в сжимаемом потоке в 2 раза больше, чем в несжимаемом. В сжимаемом потоке центробежная сила недостаточна, чтобы уравновесить повышенное избыточное давление и вакуум; наоборот, в несжимаемом потоке это вполне возможно. Если мы уменьшим всю картину потока вместе с профилем в направлении потока, то все кривизны линий, а вместе с тем и центробежная сила надлежащим образом увеличатся. Следовательно, если мы знаем, как протекает несжимаемый поток, то легко установить и картину протекания сжимаемого потока в тех же условиях для всех значений. Мы можем таким образом найти увеличение подъемной силы в 2 раза для плоской пластинки и сегмента с достаточной точностью, а для немного изогнутых тонких дужек лишь приближенно. Этот метод предполагает наличие мало искривленных линий тока и отсутствие более или менее ярко выраженного обтекания кромок. Так называемая «аналогия потенциальных линий» приходит к тем же выводам совершенно иным путем. Этот метод также основывается на перенесении потенциальных линий несжимаемого потока на случай сжимаемого потока, как это мы делали выше с линиями тока. Для того чтобы получить меньшую сходимость и расходимость линий тока, располагающихся под прямым углом к потенциальным линиям, кривизна потенциальных линий должна быть уменьшена путем искажения кривых так, как и говорили при описании метода аналогии линий тока, причем это искажение должно касаться лишь потенциальных линий. Границы обтекаемого тела будут даваться линиями тока, располагающимися после искажения их под прямым углом к потенциальным линиям. Главное искажение обычно придается в направлении линии, соединяющей переднюю и заднюю точки разветвления линий тока у тела, так как в противном случае искаженный контур тела не будет образовывать замкнутой линии. Благодаря этому толщина тела уменьшается в отношении и аналогично уменьшается и угол атаки, т. е. мы имеем картину, прямо противоположную получаемой по аналогии линий тока. В общем, и здесь мы видим, что течение сжимаемого потока качественно будет подобно течению несжимаемого потока, с тою только разницей, что плотность уменьшается вместе с увеличением скорости, а поэтому в тех местах, где скорость будет больше, расстояние между линиями потока будет больше, нежели в несжимаемом потоке. Так как, однако, у выпуклых поверхностей скорость будет выше, нежели у вогнутых, то сжимаемость увеличивает кривизну линий тока. Метод аналогии потенциальных линий находит себе практическое применение и выражение в так называемом «правиле Прандтля», справедливом для удлиненных тел с наибольшим углом наклона элементов поверхности к невозмущенному потоку вплоть до 0,8, формулируется оно таким образом: «Если плоское тело обтекается упругой (сжимаемой) жидкостью со скоростью давление, испытываемое телом, будет таким же, какое испытывает соответственное тело в неупругой жидкости при той же скорости и плотности, если ординаты тела, находящегося в упругой жидкости, относятся к ординатам тела, помещающегося в неупругой жидкости. Ввиду одинакового распределения давления отрыв вихрей в обоих случаях должен быть, примерно, одинаковым». Из этого вытекает, что подъемная сила плоской пластинки в сжимаемой среде при угле атаки а будет такая же, как и в несжимаемой среде при угле атаки. Но правилу Прандтля дужки обладают в сжимаемой среде такими же свойствами, какими бы они обладали в несжимаемой среде, если бы мы уменьшили толщину дужки, высоту выпуклости и угол атаки. Условия, возникающие при частичном переходе за скорость, звука, в то время как сама скорость полета будет еще ниже скорости звука или только на очень немного превысит эту скорость, теоретически почти не исследованы.
Трехмерная теория подъемной силы отдельного крыла в сжимаемом потоке
Условия, найденные при помощи трехмерной теории подъемной силы отдельного крыла в несжимаемой среде, могут быть без труда и чрезвычайно простым образом перенесены и на сжимаемый поток, если мы, подобно Буземану, распространим аналогию линий тока или потенциальных линий на трехмерный поток. При пользовании методом аналогии линий тока размах крыла о искажается в той же мере, как и толщина крыла. При применении метода аналогии потенциальных поверхностей и при сохранении той же хорды размах удлиняется в той же мере, в какой уменьшаются толщина крыла и угол атаки о. Это вытекает из того, что контур крыла, определяемый при помощи точек разветвления (Staupunkte), искажается вместе с потенциальными поверхностями, а профиль (дужка) наносится уже дополнительно, как линии тока под прямым углом к искаженным потенциальным поверхностям. Применение метода аналогии потенциальных поверхностей для решения пространственных проблем ограничивается случаем приближенно развертываемых потенциальных поверхностей. Распределение подъемной силы, соответствующее минимальному индуктивному сопротивлению в сжимаемом потоке, происходит по всему размаху крыла по эллипсу; индуктивное к противление рассчитывается в соответствии с этим.